Question

如图，已知点A（0，2）和抛物线y²=x+4上两点B、C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：设B（y₁²-4，y₁）、C（y²-4，y），表示出直线AB的斜率，根据AB⊥BC可知直线BC的斜率，进而把直线AB方程与抛物线方程联立消去x，根据判别式大于等于0求得y的范围．

解答：解：设B（y₁²-4，y₁）、C（y²-4，y），显然y₁²-4≠0，故k_AB=

y1-2

y12-4

=

1

y1+2

由于AB⊥BC，∴k_BC=-（y₁+2），从而

y-y1=-(y1+2)[x-(y12-4)] y2=x+4

消去x，注意到y≠y₁，得（2+y₁）（y+y₁）+1=0⇒y₁²+（2+y）y₁+（2y+1）=0，∵
由△≥0，解得y≤0或y≥4，
当y=0时，点B的坐标为（-3，-1），当y=4时，点B的坐标为（5，-3），均满足题意，
故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．常需借助韦达定理和判别式来解决问题．