Question

已知向量

a

=（sin x，cos x），

b

=（sin x，sin x），

c

=（-1，0）．
（1）若x=

π

3

，求向量

a

与

c

的夹角θ；
（2）若x∈[-

3π

8

，

π

4

]，求函数f（x）=

a

•

b

的最值；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=

2

2

sin 2x （x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

分析：（1）若x=

π

3

，先求出

a

与

c

的坐标，设

a

与

c

的夹角为θ，利用两个向量夹角公式求出cosθ的值，可得θ的值．
（2）利用两个向量的数量积的公式化简函数f（x）的解析式为

1

2

+

2

2

sin（2x-

π

4

），再根据x的范围求得2x-

π

4

 的范围，可得函数的值域．
（3）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．

解答：解：（1）若x=

π

3

，则向量

a

=（

3

2

，

1

2

），

c

=（-1，0），设

a

与

c

的夹角为θ，
则有cosθ=

a • c

| a |•| c |

=

- 3 2 +0

1×1

=-

3

2

，故θ=

5π

6

．
（2）函数f（x）=

a

•

b

=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

1

2

+

2

2

sin（2x-

π

4

）．
若x∈[-

3π

8

，

π

4

]，则 2x-

π

4

∈[-π，

π

4

]，
故当2x-

π

4

=-

π

2

时，函数取得最小值未为

1- 2

2

，当2x-

π

4

=

π

4

时，函数取得最大值为1，
故函数的值域为[

1- 2

2

，1]．
（3）把函数y=

2

2

sin 2x 的图象向右平移

π

8

个单位，再向下平移

1

2

个单位，即可得到函数f（x）的图象．

点评：本题主要考查两个向量夹角公式的应用，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．