Question

某公司今年年初支出100万元购买一种新的设备，而且公司每年需要支出设备的维修费和工人工资等各种费用，第一年4万元，第二年6万元，以后每年均比上一年增加2万元．除去各种费用后，预计公司每年纯收益为28万元．问：
（1）引进这种设备后，从第几年起该公司开始获利？（即：总收益大于各种支出）
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均收益最大？

Answer 1

解：（1）由题意知，每年的费用是以4为首项，2为公差的等差数列，
设纯收益与使用年数n的关系为f（n），
则f（n）=28n-[4n+]-100
=25n-n²-100．…（4分）
由f（n）＞0，得n²-25n+100＜0，
解得：5＜n＜20，
又∵n∈N，所以6，7，8，…，19．
且当n=5时，f（n）=0，
即第5年末的收益与支出恰好相等，故从第6年起该公司开始获利．…（6分）
（2）年平均收益为：

≤25-2=5．…（10分）
当且仅当n=，即n=10时，取得最大值．
即这种设备使用10年，该公司的年平均收益最大．…（12分）
分析：（1）由题意知，每年的费用是以4为首项，2为公差的等差数列，设纯收益与使用年数n的关系为f（n），f（n）=28n-[4n+]-100，由此能够求出引进这种设备后，第5年末的收益与支出恰好相等，故从第6年起该公司开始获利．
（2）年平均收益为≤25-2×10=5．由此能够求出这种设备使用10年，该公司的年平均收益最大．
点评：本题考查数列在生产实际中的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．