Question

已知A={x|x²-mx-2x+2m≤0，m≥0}，f（x）=ax²+3x-b（a，b为正整数），设f（x）=x的两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=3
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=

f(x)

1+x

，若g（x）在A中恒有g（x）＞m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=x的两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=3，可得a（9a-4b）=4，，从而可求函数的解析式；
（2）g（x）在（-1，+∞）上是增函数，分类讨论化简集合A，利用g（x）在A中恒有g（x）＞m，可求m的取值范围．

解答：解：（1）由已知可得：a（9a-4b）=4，进而可得：a=2，b=4．
∴f（x）=2x²+3x-4；
（2）

g(x)=2(1+x)- 5 1+x -1在(-1，+∞)上是增函数，A={x|(x-2)(x-m)≤0，m≥0}

1）．当m≥2时，A=[2，m]，g（x）在[2，m]上是增函数，只须g（2）＞m即可，
解得2≤m＜

10

3

2）．当0≤m＜2时，A=[m，2]，只须g（m）＞m即可，解得

5

-1＜m＜2
综上，

5

-1＜m＜

10

3

点评：本题以集合、函数为载体，考查函数的解析式，考查恒成立问题，注意恒成立问题的处理策略．