Question

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m=2k，k∈N^*）满足条件a₁=-a_m，a₂=-a_m-1，…，a_m=-a₁即a_i=-a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“反对称数列”．
（1）请在下列横线上填入适当的数，使这6个数构成“反对称数列”：-8，

-4

，-2，

2

，4，

8

；
（2）设{c_n}是项数为30的“反对称数列”，其中c₁₆，c₁₇，c₁₈，…，c₃₀构成首项为-1，公比为2的等比数列．设T_n是数列{nc_n}的前n项和，则T₁₅=

2¹⁶-17

．

Answer 1

分析：（1）根据“反对称数列”的定义，可求出所求；
（2）根据“反对称数列”的定义可知c₁，c₂，c₃，…，c₁₅构成末项为1，公比为

1

2

的等比数列，首项为2¹⁴，然后利用错位相消法求所求即可．

解答：解：（1）∵有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m=2k，k∈N^*）满足条件a₁=-a_m，a₂=-a_m-1，…，a_m=-a₁即a_i=-a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“反对称数列”．
∴a₁=-a₆，a₂=-a₅，a₃=-a₄，
∴a₆=-a₁=8，a₂=-a₅=4，a₄=-a₃=2
故答案为：-4，2，8
（2）∵{c_n}是项数为30的“反对称数列”，其中c₁₆，c₁₇，c₁₈，…，c₃₀构成首项为-1，公比为2的等比数列．
∴c₁，c₂，c₃，…，c₁₅构成末项为1，公比为

1

2

的等比数列，首项为2¹⁴
T₁₅=c₁+2c₂+3c₃+…+15c₁₅
T₁₅=2¹⁴+2•2¹³+3•2¹²+…+15×1①

1

2

T₁₅=2¹³+2•2¹²+…+15×

1

2

②
①-②得

1

2

T₁₅=2¹⁴+2¹³+•2¹²+…+1-15×

1

2

∴T₁₅=2¹⁶-17．
故答案为：2¹⁶-17

点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了利用错位相消法求数列的和，属于中档题．