Question

设函数f（x）=（x-a）²，g（x）=x，x∈R，a为实常数．
（1）若a＞0，设F(x)=

f(x)

g(x)

，x≠0，用函数单调性的定义证明：函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
（2）设关于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三个不相等的实数解，求a的值所组成的集合．

Answer 1

分析：（1）用定义法证明先取任意的x₁＜x₂＜0，代入解析式作差，判断差的符号，然后由定义得出结论．
（2）原方程为（x-a）²=|x|，先对a进行分类讨论，然后利用根与系数的关系及已知条件结合图象即可求出结果．

解答：解：（1）F(x)=

x2-2ax+a2

x

=x+

a2

x

-2a，任取x₁，x₂∈[a，+∞），且x₁＜x₂，
则F(x2)-F(x1)=x2-x1+a2(

1

x2

-

1

x1

)=(x2-x1)•

x1x2-a2

x1x2

，…（3分）
因为 a＞0，x₁≥a，x₂≥a且x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞a²，…（4分）
所以F（x₂）-F（x₁）＞0，所以函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数．…（6分）
（2）原方程为（x-a）²=|x|，
①当a=0时，原方程变为x²=|x|，有-1，0，1三个解；…（8分）
②当a＜0时，函数y=（x-a）²与y=|x|的图象在x＜0时有两个交点，所以原方程在x＜0时有两个不相等的实数解，要使原方程在x＞0时恰有一个解，当且仅当函数y=（x-a）²与y=|x|的图象在x＞0时有且仅有一个公共点，即方程（x-a）²=x的判别式等于0，即（2a+1）²-4a²=0，解得a=-

1

4

；…（10分）
③同理，当a＞0时，原方程在x＞0时有两个不相等的实数解，要原方程在x＜0时恰有一个解，当且仅当方程（x-a）²=-x的判别式等于0，即（2a-1）²-4a²=0，
解得a=

1

4

．…（12分）
综上，a的值所组成的集合为{-

1

4

，0，

1

4

}．…（14分）

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，利用定义法（作差法）证明单调性的步骤是：设元→作差→分解→断号→结论．此题比较难，综合考查了一元二次方程的根的定义，判别式，根与系数的关系等知识，同时也考查了分类讨论的数学思想，对于学生分析问题解决问题的能力要求比较高，所以平时要加强训练．