Question

求下列函数的值域
①y=3x+2（-1≤x≤1）②f(x)=2+

4-x

③y=

x

x+1

④y=x+

1

x

．

Answer 1

分析：①利用一次函数的单调性即可求得其值域；②先求函数的定义域，再利用函数的单调性求函数的值域；③利用分离常数法将函数变形，再利用反比例函数的图象和性质求函数的值域；④利用均值定理求函数的值域，注意均值定理成立的条件

解答：解：（1）∵一次函数f（x）=3x+2在[-1，1]上为增函数，
∴f（-1）≤y≤f（1），即-1≤y≤5
∴函数y=3x+2（-1≤x≤1）的值域为[-1，5]
（2）∵函数f(x)=2+

4-x

的定义域为（-∞，4]
且此函数在定义域上为单调减函数，
∴f（x）≥f（4）=2
∴函数f(x)=2+

4-x

的值域为[2，+∞）
（3）函数y=

x

x+1

=1-

1

x+1

由反比例函数的图象知

1

x+1

≠0
∴y≠1
∴函数y=

x

x+1

的值域为（-∞，1）∪（1，+∞）
（4）x＞0时，y=x+

1

x

≥2

x× 1 x

=2
x＜0时，y=x+

1

x

=-（-x-

1

x

）≤-2

(-x)× 1 -x

=-2
∴函数y=x+

1

x

的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）

点评：本题考察了求函数的值域的方法：单调性法、函数图象法、分离常数法、均值定理法