Question

已知a，b，c都是正实数，求证（1）

a2

b

≥2a-b，(2)

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c．

Answer 1

分析：（1）利用分析法证明，由于a，b，c都是正实数，所以最终只需要证明：（a-b）²≥0；
（2）根据不等式特点，先利用基本不等式证明b+

a2

b

≥ 2a，c+

b2

c

≥ 2b，a+

c2

a

≥ 2c，从而得证．

解答：证明：（1）要证

a2

b

≥2a-b
即证：a²≥2ab-b²
即证：（a-b）²≥0
显然成立，故得证；
（2）∵a，b，c都是正实数，
∴b+

a2

b

≥ 2a，c+

b2

c

≥ 2b，a+

c2

a

≥ 2c
相加，化简得

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c．

点评：本题以证明不等式为载体，考查分析法，考查基本不等式的运用，属于中档题．