Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上的两点，已知向量

m

=（

x1

b

，

y1

a

），

n

=（

x2

b

，

y2

a

），若

m

•

n

=0且椭圆的离心率e=

3

2

，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．
（2）先看当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=y₂，根据

m

•

n

=0代入求得x₁²-

y 2 1

4

=0把点A代入椭圆方程，求得A点横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y，根据伟大定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式代入

m

•

n

=0中整理可求得2b²-k²=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值．最后综合可得答案．

解答：解：（1）依题意知2b=2，∴b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

∴a=2，c=

a2-b2

=

3

∴椭圆的方程为

y2

4

+x2= 1
（2）①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=y₂，
∵

m

•

n

=0
∴x₁²-

y 2 1

4

=0
∴y₁²=4x₁²
又A（x₁，y₁）在椭圆上，所以x₁²+

4 x 2 1

4

=1
∴|x₁|=

2

2

，|y₁|=

2

s=

1

2

|x₁||y₁-y₂|=1
所以三角形的面积为定值．
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

y=kx+b y2 4 +x2= 1

消去y得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0
∴x₁+x₂=

-2kb

k2+4

，x₁x₂=

b 2-4

k2+4

，△=（2kb）²-4（k²+4）（b²-4）＞0
而

m

•

n

=0，
∴x₁x₂+

y1y2

4

=0
即x₁x₂+

(kx1+b)(kx 2+b)

4

=0代入整理得
2b²-k²=4
S=

1

2

|b|

1+k2

|AB|=

|b| 4k2-4b2+16

2(k2+4)

=

4b2

2|b|

=1
综上三角形的面积为定值1．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．