Question

7．已知函数f（x）=1+2^x+a•4^x，对任意的x∈（-∞，1]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 通过换元，把函数转化为二次函数f（t）=1+t+at²，利用二次函数的性质和图象，通过对a的分类讨论解决问题．

解答 解：令t=2^x，t∈（0，2]
∴f（t）=1+t+at²
=at²+t+1
=a（t+$\frac{1}{2a}$）²+1-$\frac{1}{4a}$，
显然f（0）=1＞0；
当a≥0时，f（t）=at²+t+1＞0显然成立；
当a＜0时，则；
f（2）＞0，
∴a＞-$\frac{3}{4}$，
故a的范围为a＞-$\frac{3}{4}$．

点评 考察了换元的思想和二次函数性质，难点是对参数a的分类讨论．