Question

如图所示，直线x=2与双曲线C：的渐近线交于E₁，E₂两点，记=，=，任取双曲线C上的点P，若=a+b，则实数a和b满足的一个等式是________．

Answer 1

4ab=1
分析：求出双曲线C的渐近线方程为y=±x，令x=2，得出直线x=2与双曲线C的渐近线交于点E₁（2，1）、E₁（2，-1），可得=（2，1），=（2，-1）．再设双曲线C上的点P坐标为（x₀，y₀），根据=a+b，利用向量的坐标运算，可得点P坐标为（2a+2b，a-b），最后将这个坐标代入，化简后即可得到4ab=1，即为所求．
解答：∵双曲线C的方程是
∴双曲线C的渐近线方程为y=±x
∴直线x=2与双曲线C的渐近线交于点E₁（2，1）、E₁（2，-1），可得=（2，1），=（2，-1），
设双曲线C上的点P坐标为（x₀，y₀），
∵=a+b，
∴，即点P坐标为（2a+2b，a-b）
∵点P在双曲线C：上
∴-（a-b）²=1，即4ab=1
故答案为：4ab=1
点评：本题以向量的坐标运算为载体，考查了双曲线的基本概念与简单几何性质，以及平面向量基本定理等知识点，属于基础题．