Question

已知函数f（x）=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g（x）=x²-2bx+4，当a=

1

3

时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）+g（x₂）≤0，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）由（1）知，当a=

1

3

时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．分别讨论f（x）和g（x）的最值之间的关系，即可求出b的取值范围．

解答： 解（1）∵f（x）=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx，
∴f′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

(ax+a-1)(x-1)

x2

．
①当

1-a

a

＞1时，即0＜a＜

1

2

时，此时f（x）的单调性如下：

x	（0，1）	1	（1， 1-a a ）	1-a a	（ 1-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增		减		增

当0＜a＜

1

2

时，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上是增函数，在（1，

1-a

a

）上是减函数．
②当a=

1

2

时，f′（x）=

(x-1)2

2x2

≥0，f（x）在（9，+∞）上是增函数．
综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜

1

2

时，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上是增函数，
在（1，

1-a

a

）上是减函数
（2）由（1）知，当a=

1

3

时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．
于是x₁∈（0，2）时，f（x₁）∈（-∞，

2

3

]，从而存在x₂∈[1，2]，使得g（x₂）=

x

2 2

-2bx2+4≤[-f（x₁）]_min=-

2

3

，
等价为[g（x）]_min≤-

2

3

，x∈[1，2]，
考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．
①当b≤1时，g（x）在[1，2]上递增，[g（x）]_min=g（1）=5-2b≤-

2

3

，解得b≥

17

6

（舍去），
②当b≥2时，g（x）在[1，2]上递减，[g（x）]_min=g（2）=8-4b≤-

2

3

，解得b≥

13

6

成立．
③当1＜b＜2时，[g（x）]_min=g（b）=4-b²≤-

2

3

，无解．
综上b≥

13

6

．

点评：本题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用及导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．综合性较强，难度较大．