已知椭圆的左右焦点分别为
,短轴两个端点为
,且四边形
是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点
满足
,连接
,交椭圆于点
.证明:
为定值;
(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点
的定点
,使得以
为直径的圆恒过直线
的交点,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(1);(2)证明见解析;(3)存在,
.
解析试题分析:(1)由椭圆的几何性质知,
,结合
可很快求得
,这样就得出了椭圆的标准方程;(2)若
,
,则
,因此我们要把
用
表示出来,先用
把直线
方程写出,然后与椭圆方程联立解方程组可得
(注意消去
得关于
的二次方程,这个二次方程有一个解是
,另一解是
,这样很容易得到
,于是有
);(3)这是存在性命题,总是假设
点存在,设
,由题意则应该有
,即
,而点
的坐标在(2)中已经用
表示出来了,因此利用
若能求出
,则说明符合题意的点
存在,否则就不存在.
(1),
,
椭圆方程为
4分
(2),设
,则
.
直线:
,即
,
代入椭圆得
,
.
,
(定值). 10分
(3)设存在满足条件,则
.
,
,
则由得
,从而得
.
存在
满足条件 16分
考点:(1)椭圆标准方程;(2)解析几何中的定值问题;(3)解析几何中的存在性命题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知直线L:kx-y+1+2k=0.
(1)求证:直线L过定点;
(2)若直线L交x轴负半轴于点A,交y正半轴于点B,△AOB的面积为S,试求S的最小值并求出此时直线L的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知直线l:kx-y+1+2k=0.
(1)求证:直线l过定点;
(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y正半轴于点B,△AOB的面积为S,试求S的最小值并求出此时直线l的方程.
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(2013•重庆)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,|AA′|=4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P'Q,求圆Q的标准方程.
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