Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是四边形ABCD对角线的交点．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求证：平面AB₁D₁⊥平面A₁AC；
（3）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，求多面体D₁DAOB₁的体积．

Answer 1

分析：（1）作平行线，通过线线平行⇒线面平行；
（2）证明平面AB₁D₁内的直线B₁D₁垂直于另一平面，再由线面垂直⇒面面垂直；
（3）利用棱锥的换底性，求得高与底面面积，再根据公式求解即可．

解答：解：（1）证明：连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴A₁ACC₁是矩形．
∴A₁C₁∥AC，且 A₁C₁=AC．
又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO，且O₁C₁=AO．
∴AOC₁O₁是平行四边形．
∴C₁O∥AO₁．
又AO₁?平面AB₁D₁，C₁O?平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（2）方法一：
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁B₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥B₁D₁．       
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
而D₁B₁∥BD，∴D₁B₁⊥AC．                   
∵A₁A∩AC=A，∴D₁B₁⊥平面A₁AC．         
∵D₁B₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面A₁AC． 
方法二：连接A₁B．
∵A₁ABB₁是正方形，∴A₁B⊥AB₁．            
∵CB⊥平面A₁ABB₁，由三垂线定理得，A₁C⊥AB₁． 
同理可证，A₁C⊥AD₁．                      
∵AB₁?平面AB₁D₁，AD₁?平面AB₁D₁，D₁A∩AB₁=A，
∴A₁C⊥平面AB₁D₁，∵A₁C?平面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面AB₁D₁．
（3）∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴AO⊥BD，
∵D₁D⊥平面ABCD，AO?平面ABCD，∴D₁D⊥AO．     
又D₁D∩BD=D，∴AO⊥平面D₁DOB₁．           
因为DO=AO=

1

2

BD=

2

2

，D1B1=

2

，
方法一：S梯形DOB1D1=

1

2

(DO+D1B1)•D1D=

3 2

4

．          
所以VD1DAOB1=VA-ODD1B1=

1

3

•S梯形DOB1D1•D1D=

1

4

．      
方法二：VD1DAOB1=VA-D1DO+VA-D1OB1=

1

3

•S△D1DO•AO+

1

3

•S△D1OB1•AO=

1

3

•

1

2

•

2

2

•1•

2

2

+

1

3

•

1

2

•

2

•1•

2

2

=

1

4

．
∴多面体D₁DAOB₁的体积是

1

4

点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直，平面与平面垂直的判定，空间几何体体积的计算，考查化归转化的数学思想方法，以及空间想象能力和推理论证计算能力．
求几何体的体积可采用割补法．