Question

已知关于x的不等式

k(1-x)

x-2

+1＜0的解集为空集，求实数k的取值或取值范围．

Answer 1

分析：把原不等式进行整理，得到分子和分母都是关于x的一次式，写出不等式的等价形式，注意两个根的大小关系，针对于大小关系分三种情况进行讨论，得到结果．

解答：解：原不等式化为

(1-k)x+k-2

x-2

＜0．
（1）若1-k＞0即k＜1时，不等式等价于（x-

2-k

1-k

）（x-2）＜0．
①若k＜0，不等式的解集为{x|

2-k

1-k

＜x＜2}．
②若k=0，不等式的解集为?
③若0＜k＜1，不等式的解集为{x|2＜x＜

2-k

1-k

}．
（2）若1-k＜0即k＞1时，不等式等价于（x-

2-k

1-k

）（x-2）＞0．
此时恒有2＞

2-k

1-k

，所以不等式解集为{x|x＜

2-k

1-k

，或x＞2}．
（3）若1-k=0即k=1时，不等式的解集为{x|x＞2}．
综上可知当且仅当k=0时，不等式的解集为空集．

点评：本题考查分式不等式的解法，本题解题的关键是这对于不等式进行等价变形，针对于两个根的大小进行讨论，本题是一个易错题．