Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=A（x₀，y₀）AB=2，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求几何体B-CME的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取C₁D₁的中点N，连MN，证明EM∥A₁N，而EM?平面A₁B₁C₁D₁，A₁N?平面A₁B₁C₁D₁．即可证明EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求出E到平面DCM的距离d，利用 V_B-CME=V_E-BCM，即可求几何体B-CME的体积．

解答：解：（Ⅰ）证明：取C₁D₁的中点N，连MN，D₁C∵E为A₁B中点
又∵M为CC₁中点∴MN∥

1

2

D₁C，又D₁C∥A₁B
∴MN∥A₁E   故四边形A₁EMN为平行四边形∴EM∥A₁N
而EM?平面A₁B₁C₁D₁，A₁N?平面A₁B₁C₁D₁．
∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁…（6分）
（Ⅱ）∵E为A₁B之中点，E到平面DCM的距离d=

1

2

AB=2
由 V_B-CME=V_E-BCM=

1

3

dS_?BCM=

1

3

•2•

1

2

•4•1=

4

3

…（12分）

点评：本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．