Question

6．已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-1|-a）．
（1）当a=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=4代入函数解析式，由真数大于0结合绝对值的几何意义得答案；
（2）把函数f（x）的定义域是R，转化为对于任意实数x，|x+1|+|x-1|-a＞0恒成立，分离a后再由绝对值的几何意义得答案．

解答 解：（1）当a=4时，f（x）=log₂（|x+1|+|x-1|-4）．
由|x+1|+|x-1|-4＞0，结合绝对值的几何意义如图，
可得x＜-2或x＞2．
∴函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）；
（2）要使函数f（x）的定义域是R，则对于任意实数x，|x+1|+|x-1|-a＞0恒成立，
即a＜|x+1|+|x-1|恒成立，
由绝对值的几何意义可知，（|x+1|+|x-1|）_min=2，
∴a＜2．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了绝对值的几何意义，考查数学转化思想方法，是中档题．