Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x+2），x≥1}\\{{e}^{x}-1，x＜1}\end{array}\right.$，若m＞0，n＞0，且m+n=f[f（ln2）]，则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 运用分段函数求得m+n=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x+2），x≥1}\\{{e}^{x}-1，x＜1}\end{array}\right.$，
m+n=f[f（ln2）]=f（e^ln2-1）=f（2-1）=log₃3=1，
则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当n=$\sqrt{2}$m时，取得最小值3+2$\sqrt{2}$．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法，考查分段函数值的计算，属于中档题．