【题目】如图,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道的长为,且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为(海岸线可以看作是直线),跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离.D为海湾一侧海岸线上的一点,设(),点D对跑道的视角为.
(1)将表示为x的函数;
(2)求点D的位置,使取得最大值.
【答案】(1),.(2)在海湾一侧的海岸线上距C点处的D点处观看飞机跑道的视角最大.
【解析】
(1)过A分别作直线,的垂线,垂足分别为E,F.表示出各边的长度和各角度数,分别表示出与,根据,结合正切的差角公式代入化简即可得解.
(2)由(1)所得的函数表达式.化简变形后可得分母为基本不等式形式,根据基本不等式性质及的单调性,即可求得当取得最大值时点D的位置.
(1)过A分别作直线,的垂线,垂足分别为E,F.如下图所示:
由题知,,,,
所以,,
.
因为(),
所以.
因为,(如图1).
所以
,其中.
所以,.
(2)由(1)可知:,.
因为,当且仅当,
即时取等号,
所以当时,取最小值39.
所以当时,取最大值.
由于在区间上是增函数,所以当时,取最大值.
答:在海湾一侧的海岸线上距C点处的D点处观看飞机跑道的视角最大.
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【题目】给出下列说法:①方程表示的图形是一个点;②命题“若,则或”为真命题;③已知双曲线的左右焦点分别为,,过右焦点被双曲线截得的弦长为4的直线有3条;④已知椭圆:上有两点,,若点是椭圆上任意一点,且,直线,的斜率分别为,,则为定值;⑤已知命题“,满足,”是真命题,则实数.其中说法正确的序号是__________.
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【题目】设A,B分别为双曲线 (a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求t的值及点D的坐标.
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【题目】某广场要划出一块矩形区域,在其中开辟三块完全相同的矩形绿化园圃,空白处均铺设宽的走道,如图.已知三块园圃的总面积为,设园圃小矩形的一边长为,区域的面积为(单位:).
(1)求的最小值.
(2)若区域的面积不超过,求的取值范围.
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【题目】如图1,在△中, , 分别为, 的中点, 为的中点, , .将△沿折起到△的位置,使得平面平面, 为的中点,如图2.
(1)求证: 平面;
(2)求证:平面平面;
(3)线段上是否存在点,使得平面?说明理由.
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