Question

若对满足条件x2+y2+xy=

3

16

(x＞0，y＞0)的任意x，y，不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立．则实数a的最大值是

5

2

．

Answer 1

分析：先根据等式确定x+y的取值范围，再将对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0，转化为a≤（x+y）+

1

x+y

对任意满足条件的正实数x，y恒成立，求出右边的最小值，即可得到结论．

解答：解：∵x2+y2+xy=

3

16

(x＞0，y＞0)，
∴（x+y）²-xy=

3

16

，即（x+y）²=

3

16

+xy≤

3

16

+(

x+y

2

)2，
∴

3

4

(x+y)2≤

3

16

（x＞0，y＞0）即x+y≤

1

2

，（当且仅当x=y=

1

4

时，取等号）
∵对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0
∴a≤（x+y）+

1

x+y

对任意满足条件的正实数x，y恒成立，
令t=x+y（t≤

1

2

），则f（t）=t+

1

t

在（-∞，

1

2

]上为单调减函数，
∴f（t）=t+

1

t

≥

1

2

+

1

1 2

=

5

2

，（当且仅当x=y=

1

4

时，取等号）
∴a≤

5

2

即实数a的最大值是

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查利用函数的单调性求函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是将对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0，转化为a≤（x+y）+

1

x+y

对任意满足条件的正实数x，y恒成立．属于中档题．