Question

11．定义在实数集R上的函数f（x）都可以写为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和的形式，如果f（x）=2^x+1，那么（　　）

• A． $g（x）=\frac{{{2^x}-{2^{-x}}}}{2}$，$h（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$
• B． $g（x）=\frac{{{2^x}-{2^{-x}}}}{2}$，$h（x）=1+\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$
• C． $g（x）=1+\frac{{{2^x}-{2^{-x}}}}{2}$，$h（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$
• D． $g（x）=\frac{{{2^x}-{2^{-x}}+1}}{2}$，$h（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}+1}}{2}$

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵f（x）都可以写为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和的形式，
∴f（x）=g（x）+h（x），
则f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
则g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$，h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$，
∵f（x）=2^x+1，
∴g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$，h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$=1+$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质，建立方程组关系是解决本题的关键．