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设f(x)=xlogax+(1-x)loga(1-x)(a>1)
(1)判断f(x)的单调性;
(2)已知m+n=4,且m>0,n>0,求mlog4m+nlog4n的最小值.
分析:(1)求导函数,令f′(x)=loga
x
1-x
=0得x=
1
2
,利用导数的正负,即可确定函数的单调性;
(2)由(1)知,f(x)在x=
1
2
处取最小值,f(x)min=f(
1
2
)=loga
1
2
,令m=4m1,n=4n1,则m1+n1=1,所以mlog4m+nlog4n=4[1+m1log4m1+(1-m1)log4(1-m1)],由此可得结论.
解答:解:(1)由f′(x)=logax+
1
lna
-loga(1-x)-
1
lna
=logax-loga(1-x)=loga
x
1-x

令f′(x)=0得x=
1
2

∵a>1,∴当0<x<
1
2
时,0<
x
1-x
<1
,f′(x)<0;同理,当
1
2
<x<1
时,f′(x)>0
∴f(x)在(0,
1
2
)上递减,在(
1
2
,1)上递增…(6分)
(2)由(1)知,f(x)在x=
1
2
处取最小值,f(x)min=f(
1
2
)=loga
1
2

令m=4m1,n=4n1,则m1+n1=1,所以mlog4m+nlog4n=4[1+m1log4m1+(1-m1)log4(1-m1)]≥4(1+log4
1
2
)=2
∴mlog4m+nlog4n的最小值为2.…(12分)
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查最值的求解,解题的关键是求导确定函数的最值.
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3
3

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