Question

已知抛物线C：x²=2py过点P(1，

1

2

)，直线l交C于A，B两点，过点P且平行于y轴的直线分别与直线l和x轴相交于点M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定点Q，当直线l过点Q时，△PAM与△PBN的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵P(1，

1

2

)在抛物线C上，∴1=2p•

1

2

，得p=1．…（3分）
（2）假设存在定点Q，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程为y=kx+b．
联立

y=kx+b x2=2y

得x²-2kx-2b=0，
当△=4k²+8b＞0时，有x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b．…（6分）
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-2b-2k+1（*）
由题意知，N（1，0），M（1，k+b），
因为△PAM与△PBN的面积相等，所以

1

2

|PN|•|1-x2|=

1

2

|PM|•|1-x1|，
即|1-x2|=2|k+b-

1

2

|•|x1-1|，
也即|1-x₂|=|2k+2b-1|•|x₁-1|…（10分）
根据（*）式，得（x₁-1）²=1，解得x₁=0或x₁=2．
所求的定点Q即为点A，
即l过Q（0，0）或Q（2，2）时，满足条件．…（14分）