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    已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.

    (1)求a的取值范围.

    (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.


    解析:

    (1)设直线l的方程为:y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0

    ∴|AB|=≤2p. ∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2

    又∵p＞0,∴a≤－.

    (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),

    由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,

    则有x==p.

    ∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),

    从而N点坐标为(a+2p,0）

    点N到AB的距离为

    从而S△NAB=

    当a有最大值－时，S有最大值为p2.

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    已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．
    （1）求抛物线上任意一点Q到定点N（2p，0）的最近距离；
    （2）过点F作一直线与抛物线相交于A，B两点，并在准线l上任取一点M，当M不在x轴上时，证明：
    kMA+kMBkMF
    是一个定值，并求出这个值．（其中kMA，kMB，kMF分别表示直线MA，MB，MF的斜率）

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    已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．求a的取值范围．

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    （2009•聊城一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），过点M（2p，0）的直线与抛物线相交于A，B，
    OA
    •
    OB
    =
    0
    0
    ．

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    已知抛物线y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是抛物线上的两点．求证：直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB，其中O是坐标原点．

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