Question

已知⊙C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）．
（1）若l₁与⊙C相切，求l₁的方程，
（2）若l₁的倾斜角为

π

4

，l₁与⊙C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标，
（3）若l₁与⊙C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积最大值，并求此时l₁的直线方程．

Answer 1

分析：（1）①若直线l₁的斜率不存在，则直线x=1，符合题意．②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=k（x-1），由切线的性质可得：圆心（3，4）到已知直线l₁的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．
（2）由倾斜角可得斜率，于是得到直线l₁的方程为y=x-1，与圆的方程联立即可解出点P，Q的坐标，利用中点坐标公式即可得出M点的坐标；
（3）直线与圆相交，斜率必定存在且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l₁的距离d，利用弦长公式可得|PQ|=2

r2-d2

，于是得到S_△OPQ=

1

2

d•2

4-d2

=d

4-d2

≤

d2+(4-d2)

2

利用基本不等式即可得出d，进而解出k．

解答：解：（1）①若直线l₁的斜率不存在，则直线x=1，符合题意．
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由切线的性质可得：圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，即：

|3k-4-k|

k2+1

=2，
解之得  k=

3

4

．
所求直线方程是x=1，或3x-4y-3=0．
（2）∵l₁的倾斜角为

π

4

，∴斜率k=1，可得直线l₁的方程为y=x-1，联立

y=x-1 (x-3)2+(y-4)2=4

，解得

x=3 y=2

或

x=5 y=4

．
不妨设P（3，2），Q（5，4）．则线段PQ的中点M的坐标为(

3+5

2

，

2+4

2

)，即（4，3）．
（3）直线与圆相交，斜率必定存在且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，则圆心到直线l₁的距离d=

|2k-4|

1+k2

，|PQ|=2

r2-d2

，
∴S_△OPQ=

1

2

d•2

4-d2

=d

4-d2

≤

d2+(4-d2)

2

=2，当且仅当d²=2，即d=

2

时取等号．
∴

|2k-4|

1+k2

=

2

，化为k²-8k+7=0，解得k=1或7．
所求直线l₁的方程为y=x-1或y=7x-7．

点评：本题综合考查了直线与圆相切与相交的有关问题、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．