Question

19．设f（x）=x²lnx，g（x）=ax³-x²．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；
（3）若使方程f（x）-g（x）=0在x∈[e${\;}^{-\frac{1}{3}}$，eⁿ]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为a_n，数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最小值；
（2）由题意可得a＜$\frac{1+lnx}{x}$在（0，+∞）成立，设h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，求出导数，求得单调区间和极值，最大值，即可得到a的范围；
（3）方程f（x）-g（x）=0，即为a=$\frac{1+lnx}{x}$在x∈[e${\;}^{-\frac{1}{3}}$，eⁿ]上有解，求得h（x）在x∈[e${\;}^{-\frac{1}{3}}$，eⁿ]上的最小值，可得a_n=（1+n）•e^-n，由错位相减法求得S_n，再由不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）f（x）=x²lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0，
当x＞${e}^{-\frac{1}{2}}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜${e}^{-\frac{1}{2}}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=${e}^{-\frac{1}{2}}$处取得极小值，也为最小值-$\frac{1}{2e}$；
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），
即为a＜$\frac{1+lnx}{x}$在（0，+∞）成立，
设h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{1-（1+lnx）}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增．
即有x=1处取得极大值，也为最大值1，
则a＜1，即a的取值范围是（-∞，1）；
（3）证明：方程f（x）-g（x）=0，即为a=$\frac{1+lnx}{x}$在x∈[e${\;}^{-\frac{1}{3}}$，eⁿ]上有解，
由（2）可得h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$在（e${\;}^{-\frac{1}{3}}$，1）递增，在（1，eⁿ]递减，
由e${\;}^{-\frac{1}{3}}$＜eⁿ，可得x=eⁿ处取得最小值，且为（1+n）•e^-n，
前n项和为S_n=2•e^-1+3•e^-2+4•e^-3+…+（1+n）•e^-n，
eS_n=2•e⁰+3•e^-1+4•e^-2+…+（1+n）•e^1-n，
相减可得，（e-1）S_n=2+e^-1+e^-2+e^-3+…+e^1-n-（1+n）•e^-n
=1+$\frac{1-{e}^{-n}}{1-{e}^{-1}}$--（1+n）•e^-n
化简可得S_n=$\frac{2e-1}{（e-1）^{2}}$-$\frac{1}{e-1}$•e^-n•（$\frac{e}{e-1}$+n+1）＜$\frac{2e-1}{（e-1）^{2}}$＜3．
故S_n＜3成立．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式（或方程）成立的条件，注意运用参数分离和构造函数，考查等比数列的求和公式及数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．