Question

11．已知a，b为正数，且直线x-（2b-3）y+6=0与直线2bx+ay-5=0互相垂直，则2a+3b的最小值为$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 由直线垂直可得ab的式子，变形可得$\frac{3}{2b}$+$\frac{1}{a}$=1，进而可得（2a+3b）=（2a+3b）（$\frac{3}{2b}$+$\frac{1}{a}$）由基本不等式求最值可得．

解答 解：∵直线x-（2b-3）y+6=0与直线2bx+ay-5=0互相垂直，
∴2b-（2b-3）a=0，
∴3a+2b=2ab，两边同除以ab可得$\frac{3}{2b}$+$\frac{1}{a}$=1，
∵a，b都是正实数，
∴2a+3b=（2a+3b）（$\frac{3}{2b}$+$\frac{1}{a}$）=2+$\frac{9}{2}$+$\frac{3a}{b}$+$\frac{3b}{a}$≥$\frac{13}{2}$+2$\sqrt{\frac{3b}{a}•\frac{3a}{b}}$=$\frac{13}{2}$+6=$\frac{25}{2}$，当且仅当$\frac{3b}{a}$=$\frac{3a}{b}$即a=b=$\frac{5}{2}$时，上式取到最小值$\frac{25}{2}$，
故答案为：$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及基本不等式求最值，属中档题．