Question

△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

．

Answer 1

分析：△ABC的三个内角A，B，C成等差数列⇒B=60°，利用余弦定理可知b²=a²+c²-ac，利用分析法证明，要使原结论成立，只需证

c

a+b

+

a

b+c

=1，左端通分整理后将b²=a²+c²-ac，代入，再整理即可．

解答：证明：要证原式，只要证

a+b+c

a+b

+

a+b+c

b+c

=3，即

c

a+b

+

a

b+c

=1，
即只要证

bc+c2+a2+ab

ab+b2+ac+bc

=1，
而A+C=2B，B=60°，
∴b²=a²+c²-ac，
∴

bc+c2+a2+ab

ab+b2+ac+bc

=

bc+c2+a2+ab

ab+a2+c2-ac+ac+bc

=

bc+c2+a2+ab

ab+a2+c2+bc

=1成立．
故原结论成立．

点评：本题考查分析法，着重考查推理证明，考查余弦定理与整体代换，属于中档题．