Question

设函数f（x）=log_a（a²x）•log_a（ax） （a＞0且a≠1），

1

9

≤x≤9．令t=log_ax
（1）若t∈[-2，2]，求a的取值范围；
（2）当a=

3

时，求函数f（x）的最大值与最小值及对应的x值．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的性质，解对数不等式即可．
（2）利用换元法，结合对数函数和二次函数的性质求函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）当a＞1时，
∵

1

9

≤x≤9．
∴t=logax∈[loga

1

9

，loga9]
∵t∈[-2，2]，
∴

loga 1 9 ≥-2 loga9≤2

∴

-loga9≥-2 loga9≤2

∴loga9≤2=logaa2，
∵a＞1，∴a²≥9，a≥3．
当0＜a＜1时，
∵

1

9

≤x≤9．
∴t=logax∈[loga9，loga

1

9

]．
∵t∈[-2，2]，
∴

loga9≥-2 loga 1 9 ≤2

∴

loga9≥-2 -loga9≤2

∴loga9≥-2=logaa-2，
∵0＜a＜1，
∴a-2≥9，a2≤

1

9

，0＜a≤

1

3

．
综上0＜a≤

1

3

或a≥3．
（ II） 由f(x)=(log

3

x+2)•(log

3

x+1)=(log

3

x)2+3log

3

x+2=t2+3t+2
令g(t)=t2+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，t∈[-4，4]．
当t=-

3

2

时，g(t)min=-

1

4

，
即log

3

x=-

3

2

⇒x=(

3

)-

3

2

=3-

3

4

=

4 3

3

．
∴f(x)min=-

1

4

，此时x=

1

27

（写成x=3-

3

4

也可以）
当t=4时，g（t）_max=g（4）=30，
即log

3

x=4⇒x=9．
∴f（x）_max=30，此时x=9．

点评：本题主要考查对数函数的性质以及对数运算，利用换元法是解决本题的关键，考查学生的运算能力．