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设向量
a
=(sinx,1),
b
=(1,cosx)
,记f(x)=
a
b
,f′(x)是f(x)的导函数.
(I)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的最大值和最小正周期;
(II)若f(x)=2f′(x),求
1+2sin2x
cos2x-sinxcosx
的值.
分析:(1)先根据向量数量积的运算写出函数f(x)的解析式,对函数f(x)进行求导后代入到函数F(x)中化简为y=Asin(wx+ρ)+b的形式,然后根据正弦函数的性质可得到答案.
(2)对f(x)=2f′(x)进行整理,可以得到x的正切值,然后对
1+2sin2x
cos2x-sinxcosx
分子分母同时除以tan2x得到tanx的关系式,即可得到答案.
解答:解:(1)f(x)=sinx+cosx
∴f′(x)=cosx-sinx,
∴F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+
2
sin(2x+
π
4
)

∴当2x+
π
4
=2kπ+
π
2
?x=kπ+
π
8
(k∈Z)时,
F(x)max=1+
2

最小正周期为T=
2

(2)∵f(x)=2f′(x)?sinx+cosx=2cosx-2sinx
∴cosx=3sinx?tanx=
1
3

1+2sin2x
cos2x-sinxcosx
=
3sin2x+cos2x
cos2x-sinxcosx
=
3tan2x+1
1-tanx
=
2
2
3
=2
点评:本题主要考查向量的数量积运算、求导运算、两角和与差的正弦公式等内容.向量和三角函数的综合题是高考的热点,每年必考,要给予重视.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设向量
a
=(sinx,
3
cosx)
b
=(cosx,cosx)

(1)若
a
b
(0<x<
π
2
),求tanx的值;
(2)求函数f(x)=
a
b
的最小正周期和函数在x∈(0,
π
2
)
的最大值及相应x的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设向量
a
=(sinx,
3
cosx)
b
=(cosx,cosx),(0<x<
π
2
)

(1)若
a
b
,求tanx的值;
(2)求函数f(x)=
a
b
的周期和函数最大值及相应x的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(cosx,cosx),x∈R
,函数f(x)=
a
•(
a
+
b
)

(Ⅰ)求f(x)最大值和此时相应的x的值;
(Ⅱ)求使不等式f(x)≥
3
2
成立的x的取值集合.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设向量
a
=(sinx,cosx)
b
=(cosx,cosx),x∈R
,函数f(x)=
a
•(
a
+
b
)

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; 
(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅲ)求函数f(x)在x∈[-
π
4
π
4
]
上的最大值和最小值.

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