Question

（2007•广州一模）已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l：y=kx，且l与C相交于P、Q两点，点M（0，b），且MP⊥MQ．
（Ⅰ）当b=1时，求k的值；
（Ⅱ）当b∈（1，

3

2

），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当b=1时，点M（0，b）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．把圆心坐标（1，1）代入直线l：y=kx，可得k的值．
（Ⅱ）把直线l的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及

MP

•

MQ

=0，求得

2k(1+k)

1+k2

=b+

1

b

．令f(b)=b+

1

b

，则f（b）
在区间(1，

3

2

)上单调递增，求得f(b)∈(2，

13

6

)，可得 2＜

2k(1+k)

1+k2

＜

13

6

，解此不等式求得k的取值范围（注意检验△＞0）．

解答：解：（Ⅰ）圆C：（x-1）²+（y-1）²=1，当b=1时，点M（0，b）在圆C上，
当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．…（2分）
∵圆心C的坐标为（1，1），∴k=1．…（4分）
（Ⅱ）由

y=kx x2+y 2-2x-2y+1=0

，消去y得：（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0．①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，x1x2=

1

1+k2

．…（6分）
∵MP⊥MQ，∴

MP

•

MQ

=0．
∴（x₁，y₁-b）•（x₂，y₂-b）=0，即 x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0．
∵y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴（kx₁-b）（kx₂-b）+x₁x₂=0，即(1+k2)x1x2-kb(x1+x2)+b2=0．…（8分）
∴(1+k2)•

1

1+k2

-kb•

2(1+k)

1+k2

+b2=0，即

2k(1+k)

1+k2

=

b2+1

b

=b+

1

b

．
令f(b)=b+

1

b

，则f（b）在区间(1，

3

2

)上单调递增．
∴当b∈(1，

3

2

)时，f(b)∈(2，

13

6

)．…（11分）
∴2＜

2k(1+k)

1+k2

＜

13

6

．
即

2k(1+k)＞2(1+k2)  2k(1+k)＜ 13 6 (1+k2)

，解得

k＞1 k＞6+ 23  ，或k＜6- 23

，
∴1＜k＜6-

23

或k＞6+

23

．…（13分）
由①式得△=[2（1+k）]²-4（1+k²）＞0，解得k＞0．
∴1＜k＜6-

23

，或k＞6+

23

．
∴k的取值范围是(1，6-

23

)∪(6+

23

，+∞)．…（14分）

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，利用函数的单调性求函数的值域，一元二次不等式的解法，属于中档题．