Question

14．已知函数f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$），x∈R
（1）求$f（{\frac{5π}{4}}）$的值；
（2）设0≤β≤$\frac{π}{2}$≤α≤π，$f（{3α+\frac{π}{2}}）=\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）代值计算可得答案；
（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得sinα和cosβ的值，进而由两角和的余弦公式可得．

解答 解：（1）由题意可得$f（{\frac{5π}{4}}）$=2sin（$\frac{1}{3}$×$\frac{5π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$；
（2）∵0≤β≤$\frac{π}{2}$≤α≤π，$f（{3α+\frac{π}{2}}）=\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，
∴f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=2sinα=$\frac{10}{13}$，∴sinα=$\frac{5}{13}$，
f（3β+2π）=2sin（β+$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，∴cosβ=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{12}{13}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=$-\frac{12}{13}×\frac{3}{5}-\frac{5}{13}×\frac{4}{5}$=-$\frac{56}{65}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．