Question

17．函数f（x）=ax³+x²+bx-$\frac{1}{3}$（a，b∈R），f′（x）为其导函数，且x=1时f（x）有极小值-2，若不等式f′（x）+4＞n（xlnx-1）对任意正实数x恒成立，则正整数n的最大值5．（参考数据：ln2=0.693，ln3=1.098，ln5=1.609，ln7=1.946）

Answer 1

分析 f′（x）=3ax²+2x+b，由于x=1时f（x）有极小值-2，可得f′（1）=0，f（1）=-2，解得a，b．不等式f′（x）+4＞n（xlnx-1），即：x²+2x+1＞n（xlnx-1），（x＞0）．令x₀lnx₀=1．则x₀∈（1，2），当x＞x₀时，xlnx-1＞0，又x²+2x+1＞0．因此只考虑x＞x₀时，n的最大值即可．$n＜\frac{{x}^{2}+2x+1}{xlnx-1}$=g（x），
x＞x₀．利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2x+b，
∵x=1时f（x）有极小值-2，
∴f′（1）=3a+2+b=0，f（1）=a+1+b-$\frac{1}{3}$=-2，
解得$a=\frac{1}{3}$，b=-3．
∴f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），满足条件．
不等式f′（x）+4＞n（xlnx-1），
即：x²+2x+1＞n（xlnx-1），（x＞0）．
令x₀lnx₀=1．则x₀∈（1，2），当x＞x₀时，xlnx-1＞0，
又x²+2x+1＞0．
因此只考虑x＞x₀时，n的最大值即可．
$n＜\frac{{x}^{2}+2x+1}{xlnx-1}$=g（x），x＞x₀．
g′（x）=$\frac{（2x+2）（xlnx-1）-（{x}^{2}+2x+1）（lnx+1）}{（xlnx-1）^{2}}$=$\frac{（x+1）[（x-1）lnx-（x+3）]}{（xlnx-1）^{2}}$．
令h（x）=（x-1）lnx-（x+3），
h′（x）=lnx-$\frac{1}{x}$＞0，
∴h（x）在（x₀，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（x₀）=（x₀-1）lnx₀-（x₀+3）=-$\frac{1}{{x}_{0}}$-x₀-2．
h（6）=5ln6-9=5×1.791-9＜0．
h（7）=6ln7-10＞0．
∴h（x）的零点x₁∈（6，7）．
g（6）=$\frac{49}{6ln6-1}$≈5.03，g（7）=$\frac{64}{7ln7-1}$≈5.07．
∴n＜5.03．
∴正整数n的最大值为5．
故答案为：5．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．