Question

设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x²-x）f（x）＞0的解集为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论

解答： 解：∵构造函数g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），
∵2f（x）+xf′（x）＞x²＞0，
令g'（x）=0，解得x=0，
当x＜0，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞0，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
∴当x=0时，函数有最小值，g（x）_min=g（0）=0，
∴g（x）＞0，
∴f（x）＞0，
∵（x²-x）f（x）＞0，
∴x²-x＞0，
解得x＜0，或x＞1，
故不等式（x²-x）f（x）＞0的解集为（-∞，0）∪（1，+∞），
故答案为：（-∞，0）∪（1，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，构造函数以及求证f（x）＞0恒成立是关键，属于中档题．