Question

【题目】某校高二理科8班共有50名学生参加学业水平模拟考试，成绩（单位：分，满分100分）大于或等于90分的为优秀，其中语文成绩近似服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图.

（I）这50名学生中本次考试语文、数学成绩优秀的大约各有多少人？

（Ⅱ）如果语文和数学两科成绩都优秀的共有4人，从语文优秀或数学优秀的这些同学中随机抽取3人，设3人中两科都优秀的有人，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据（I）（Ⅱ）的数据，是否有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀？

附：①若~，则，；

②；

③

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 语文成绩优秀的同学有8人，数学成绩优秀的同学有10人. (Ⅱ)见解析.( Ⅲ) 没有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀.

【解析】

（I）语文成绩服从正态分布，根据正态分布的 原则可得语文成绩优秀的概率及人数；根据数学成绩的频率分布直方图可以计算数学成绩优秀的概率及人数；（Ⅱ）语文和数学两科成绩都优秀的共有4人，则语文单科优秀的4人，数学单科优秀的6人，即单科优秀的共10人，随机抽取3人，3人中两科都优秀的可能为0、1、2、3四种情况，服从超几何分布，利用概率公式分别求出每种情况的概率，即可写出X的分布列及数学期望；（Ⅲ）先填写列联表，利用公式求出 的值比较它与6.635的大小即可。

（Ⅰ）∵语文成绩服从正态分布，

∴语文成绩优秀的概率为，

数学成绩优秀的概率为，

∴语文成绩优秀的同学有人，

数学成绩优秀的同学有人.

（Ⅱ）语文数学两科都优秀的有4人，单科优秀的有10人，

的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

∴的分布列为：

.

（Ⅲ）列联表：

∴.

∴没有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀.