Question

10、定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函数，下面五个关于f（x）的命题中：①f（x）是周期函数；②f（x）图象关于x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上为减函数；⑤f（2）=f（0），正确命题的个数是（　　）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

Answer 1

分析：由题意义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），

解答：解：因为义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），式子中的x 都被x+1代替可得：f（x+2）=-f（x+1）=f（x），利用函数周期的定义可知：该函数有周期T=2，又且f（x）在[-1，0]上是增函数，偶函数在对称区间上单调性相反，利用条件可以画一草图分析如下：



由题意及图形可知①⑤正确；②正确；③错误；④错误；
故选C

点评：此题考查了函数的周期的定义，偶函数在对称区间上单调性相反这一结论，还考查了学生对于解决问题时的数形结合能力．