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已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数x1、x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,则不等式f(1-x)<0的解集为( )
A.(1,+∞)
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,1)
【答案】分析:先利用不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立得到函数f(x)是定义在R上的减函数;再利用函数f(x+1)是定义在R上的奇函数得到函数f(x)过(1,0)点,二者相结合即可求出不等式f(1-x)<0的解集.
解答:解:由不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立得,函数f(x)是定义在R上的减函数 ①.
又因为函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,所以有函数f(x+1)过点(0,0);
故函数f(x)过点(1,0)②.
①②相结合得:x>1时,f(x)<0.
故不等式f(1-x)<0转化为1-x>1⇒x<0.
故选C.
点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题.关键点有两处:①判断出函数f(x)的单调性;②利用奇函数的性质得到函数f(x)过(1,0)点.
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①y=2x与y=log2x互为反函数,其图象关于y=x对称;
②函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则其图象关于直线x=2对称;
③已知函数f(x-1)=x2-2x+1.则f(5)=26;
④已知△ABC,P为平面ABC外任意一点,且PA⊥PB⊥PC,则点P在平面ABC内的正投影是△ABC的垂心.
正确的是
 

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