Question

已知f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是________．

Answer 1

3
分析：法一：先利用导函数求出原函数的单调增区间，再让[1，+∞）是所求区间的子集可得结论．
法二：由题意a＞0，函数f（x）=x³-ax，首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系进行判断．
解答：法一∵f（x）=x³-ax，∴f′（x）=3x²-a=3（x-）（x+）
∴f（x）=x³-ax在（-∞，-），（ ，+∞）上单调递增，
∵函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上单调递增，
∴≤1?a≤3
∴a的最大值为 3
法二：由法一得f′（x）=3x²-a，
∵函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调增函数，
∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，
即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤3，
故答案为：3．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数导数与函数单调性之间的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．