已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是________.
3
分析:法一:先利用导函数求出原函数的单调增区间,再让[1,+∞)是所求区间的子集可得结论.
法二:由题意a>0,函数f(x)=x
3-ax,首先求出函数的导数,然后根据导数与函数单调性的关系进行判断.
解答:法一∵f(x)=x
3-ax,∴f′(x)=3x
2-a=3(x-

)(x+

)
∴f(x)=x
3-ax在(-∞,-

),(

,+∞)上单调递增,
∵函数f(x)=x
3-ax在[1,+∞)上单调递增,
∴

≤1?a≤3
∴a的最大值为 3
法二:由法一得f′(x)=3x
2-a,
∵函数f(x)=x
3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,
∴在[1,+∞)上,f′(x)≥0恒成立,
即a≤3x
2在[1,+∞)上恒成立,
∴a≤3,
故答案为:3.
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数导数与函数单调性之间的关系、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.