Question

13．已知a∈R，函数f（x）=$\sqrt{2x+4}$+3a和g（x）=$\sqrt{x+3}$+2a²的图象有交点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）
• B． （-$\frac{1}{2}$，0]∪[1，+∞）
• C． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 由题意可得方程 $\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$=2a²-3a 有解，故 x≥-2．令y=$\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$，利用用导数求出y的最小值为-1，可得 2a²-3a≥-1，由此求得a的范围．

解答 解：由题意可得方程 $\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$=2a²-3a 有解，∴x≥-2．
令y=$\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$，则y′=$\frac{1}{\sqrt{2x+4}}$-$\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$ 在（-2，+∞）上大于零，故函数y在[-2，+∞）上为增函数，
故当x=-2时，函数y取得最小值为-1，
∴2a²-3a≥-1，求得a≥1 或a≤$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数的图象，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．