Question

A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB 为等腰直角三角形．记∠AOC=α．
（1）若A点的坐标为（

3

5

，

4

5

），求 

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

的值；
（2）求|BC|²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由任意角的三角函数的定义求出cosα和sinα，代入所求的式子进行运算．
（2）由题意得 C（1，0），OB直线的倾斜角为α+90°，求出点B坐标，利用两点间的距离公式计算|BC|² 的值，
根据α的范围求出sinα的范围，进而得到|BC|²的取值范围．

解答：解：（1） 由题意得 cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，∴

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

=

sin2α+2sinαcosα

3cos2α-1

=

16 25 +2• 4 5 • 3 5

3• 9 25 -1

=

40 25

2 25

=20．
（2）由题意得 C（1，0），OB直线的倾斜角为α+90°，故点B的坐标为（cos（α+90°），sin（α+90°）），
点B （-sinα，cosα）．∴|BC|² =（1+sinα）²+（0-cosα）²=2+2sinα．
∵0＜α＜

π

2

，∴0＜sinα＜1，0＜2sinα＜2，2＜2+2sinα＜4，
即|BC|²的取值范围为（ 2，4）．

点评：本题考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、诱导公式、两点间的距离公式得应用，
求点B的坐标是解题的难点和关键．