Question

如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且
为钝角.

（1）求曲线和的方程；
（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.

Answer 1

（1），（2）3

本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，联立方程，正确运用韦达定理是关键
（Ⅰ）设曲线C₂所在的抛物线的方程为y²=2px，将A( )
)代入可得p的值，利用椭圆的定义，可得曲线C₁所在的椭圆的方程；
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），过F₂与x轴不垂直的直线为x=ty+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得|y₁-y_2|，同理可知|y₃-y₄| 。
解：（本小题满分12分）（Ⅰ）

椭圆方程为，抛物线方程为。    ……………5分

则
同理，将代入得：
则，    …………8分
…………12分