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在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知底面ABC是边长为a的正三角形,侧棱AA1=数学公式a,点D,E,F,O分别为边AB,A1C,AA1,BC的中点,A1O⊥底面ABC.
(Ⅰ)求证:线段DE∥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求证:FO⊥平面BB1C1C.

证明:(Ⅰ)∵E为A1C的中点,
∴E也为AC1的中点,
又∵D为AB的中点,…(2分)
∴DE∥BC1,…(4分)
又∵DE?平面BB1C1C,BC1?平面BB1C1C
∴DE∥平面BB1C1C. …(6分)
(Ⅱ)因为△ABC是边长这a的正三角形,所以AO=a.
又A1O⊥底面ABC,AO?底面ABC,
所以A1O⊥AO,…(8分)
又AA1=a,所以A1O=AO=a.
又F为AA1的中点,所以OF⊥AA1
又∵BB1∥AA1
∴OF⊥BB1. …(10分)
又BC⊥AO,BC⊥A1O,AO∩A1O=0,AO,A1O?平面AOA1
∴BC⊥平面AOA1
又∵FO?平面AOA1
∴BC⊥FO,…(12分)
又∵BC∩BB1=B,BC,BB1?平面BB1C1C
所以FO⊥平面BB1C1C. …(14分)
分析:(I)根据平行四边形对角线互相平分可得E也为AC1的中点,由中位线定理可得DE∥BC1,再由线面平行的判定定理可得线段DE∥平面BB1C1C;
(Ⅱ)由A1O⊥底面ABC可得A1O⊥AO,求出A1O,AO长,可由等腰三角形三线合一得到OF⊥AA1,即OF⊥BB1.由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面AOA1,即BC⊥FO,再由线面垂直的判定定理可得FO⊥平面BB1C1C.
点评:本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,熟练掌握空间直线与平面垂直和平行的判定定理是解答的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示,其中主视图AA1B1B和左视图B1BCC1均为矩形,在俯视图△A1B1C1中,A1C1=3,A1B1=5,cos∠A1=
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(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,求证:BC⊥AC1
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,若D是底边AB的中点,求证:AC1∥平面CDB1
(3)若三棱柱的高为5,求三视图中左视图的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图:在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中,AB=
AA13
=a,E,F分别是BB1,CC1上的点且BE=a,CF=2a.
(Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF;
(Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=
5
,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.
(1)求点C到平面A1ABB1的距离;
(2)求二面角A-BC1-B1的余弦值;
(3)若M,N分别为直线AA1,B1C上动点,求MN的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•江西)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=
5
,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.
(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;
(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求证二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求
BDBC1
的值.

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