Question

19．已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4-2a的解集为{x|-4＜x＜0}．
（1）求a的值；
（2）若f（x）-f（-2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1））解不等式|x+2a|＜4-2a，得到4-4a=0，求出a的值即可；
（2）问题转化为m≥|x+2|-2|x-1|-x，令h（x）=|x+2|-2|x-1|-x，求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x+2a|，f（x）＜4-2a，
∴2a-4＜x+2a＜4-2a，
∴-4＜x＜4-4a，
∴4-4a=0，解得：a=1；
（2）由（1）得：f（x）=|x+2|，f（-2x）=|-2x+2|，
若f（x）-f（-2x）≤x+m对任意实数x都成立，
即m≥|x+2|-2|x-1|-x，
令h（x）=|x+2|-2|x-1|-x=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4，x≥1}\\{2x，-2＜x＜1}\\{-4，x≤-2}\end{array}\right.$，
x≥1时，h（x）=-2x+4≤2，
-2＜x＜1时，h（x）∈（-4，2），
x≤-2时，h（x）=-4，
∴h（x）的最大值是2，
∴m≥2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，是一道中档题．