Question

双曲线C的中心在原点，它的一条渐近线的方程为2x-y=0，且该双曲线经过点P（2，4

2

）
（1）求双曲线C的方程及其离心率；
（2）直线l：y=kx+m（k＞0）与双曲线C交于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）两点，其中0＜y_B＜y_A，直线l与y轴的交点为M，且

AM

=2

MB

．试求满足上述条件的k的范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由渐近线方程，可设双曲线的方程为4x²-y²=λ（λ≠0），代入P的坐标即可得到；
（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，运用韦达定理，再由向量的坐标及共线坐标表示，即可得到k，m的关系式，通过0＜y_B＜y_A，即可得到k的范围．

解答： 解：（1）由于双曲线的一条渐近线的方程为2x-y=0，
可设双曲线的方程为4x²-y²=λ（λ≠0），
则代入点P（2，4

2

），得λ=4×4-32=-16．
则双曲线方程为

y2

16

-

x2

4

=1．
离心率e=

16+4

4

=

5

2

．
（2）将直线y=kx+m（k＞0，m＞0），
代入双曲线方程得，（k²-4）x²+2kmx+m²-16=0，
则△=4k²m²-4（k²-4）（m²-16）＞0，即为4k²+m²＞16，
x_A+x_B=

2km

4-k2

，x_Ax_B=

m2-16

k2-4

，①

AM

=（-x_A，m-y_A），

MB

=（x_B，y_B-m），
由

AM

=2

MB

，则-x_A=2x_B，②
由于0＜y_B＜y_A，则x_A＞0，x_B＜0，即有k²＜4，
由①②解得，x_A=

4km

4-k2

，x_B=

2km

k2-4

，
即有

8k2m2

-(k2-4)2

=

m2-16

k2-4

，即为

8k2

4-k2

=

m2-16

m2

=1-

16

m2

＞1-

16

16-4k2

=

-4k2

16-4k2

，即有-2＜k＜2，
又

8k2

4-k2

＜1即有9k²＜4，解得，-

2

3

＜k＜

2

3

，
由于k＞0，则k的取值范围是（0，

2

3

）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理，考查平面向量的坐标运算和化简整理的能力，属于中档题．