Question

设函数f（x）=x²+ax-lnx．
（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；
（2）令g（x）=

f(x)

ex

，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：分类讨论,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）设切点为M（t，f（t）），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得t²-1+lnt=0，进而得到t；
（2）令g（x）=

f(x)

ex

，求出导数，由题意可得?x∈（0，1]，g′（x）≤0即f′（x）≤f（x），设h（x）=x²-2x+

1

x

-lnx+a（x-1），求出导数，讨论a≤2，a＞2，再由函数的单调性，即可判断．

解答： 解：（1）设切点为M（t，f（t）），
f′（x）=2x+a-

1

x

，
则切线的斜率k=2t+a-

1

t

，
又切线过原点，则k=

f(t)

t

=2t+a-

1

t

，即t²+at-lnt=2t²+at-1，
即有t²-1+lnt=0，t=1满足方程t²-1+lnt=0，
由y=1-x²，y=lnx图象可知x²-1+lnx=0，
有唯一解x=1，切点的横坐标为1；
（2）令g（x）=

f(x)

ex

，g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

，
若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，
则?x∈（0，1]，g′（x）≤0即f′（x）≤f（x），
所以x²-2x+

1

x

-lnx+a（x-1）≥0，
设h（x）=x²-2x+

1

x

-lnx+a（x-1），
h′（x）=2x-2-

1

x2

-

1

x

+a=-

(1-x)(2x2+2x+1)

x2

-2+a，
若a≤2，则h′（x）≤0，h（x）在（0，1]递减，h（x）≥h（1）=0，
 即不等式f′（x）≤f（x），?x∈（0，1]恒成立．
若a＞2，φ（x）=2x-

1

x2

-

1

x

-2，φ′（x）=2+

2

x3

+

1

x2

＞0
φ（x）在（0，1]上递增，φ（x）≤φ（1）=-2，
?x₀∈（0，1]，使得φ（x₀）=-a，x∈（x₀，1），φ（x）＞-a，
即h′（x）＞0，h（x）在（x₀，1）上递增，h（x）≤h（1）=0 
这与?x∈（0，1]，x²-2x+

1

x

-lnx+a（x-1）≥0矛盾，
综上所述，a≤2．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．