Question

【题目】（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆： 的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于， 两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）点恒在直线上

【解析】试题分析：（1）直线与x轴的交点为椭圆的右焦点，所以由得从而，所以椭圆的标准方程为．（2）探索性问题，先通过特殊情形探索目标：令，则根据对称性知满足题意的定直线只能是．问题转化为证明P,B,D三点共线，可利用斜率相等进行证明：设， ，则，从而 ，再利用直线与椭圆方程联立方程组得关于y的一元二次方程，由韦达定理得与关系，进而得

试题解析：（1）由题设，得解得从而，

所以椭圆的标准方程为． 4分

（2）令，则， 或者， ．

当， 时， ；当， 时， ，

所以，满足题意的定直线只能是． 6分

下面证明点恒在直线上．

设， ，由于垂直于轴，所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上． 8分

由得，

，

， ．① 10分

∵

， 13分

①式代入上式，得， 所以． 15分

∴点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线恒过同一点

， 所以存在一条定直线： 使得点恒在直线上． 16分