Question

13．（1）已知$tanθ=-\frac{3}{4}$，求1+sinθcosθ-cos²θ的值；
（2）求值：$\frac{{cos{{40}^0}+sin{{50}^0}（1+\sqrt{3}tan{{10}^0}）}}{{sin{{70}^0}\sqrt{1+sin{{50}^0}}}}$．

Answer 1

分析 （1）利用平方关系化弦为切求值；
（2）化切为弦，再由倍角公式及两角和与差的正弦、余弦化简求值．

解答 解：（1）∵$tanθ=-\frac{3}{4}$，
∴1+sinθcosθ-cos²θ=$\frac{{{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ+sinθcosθ-{{cos}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}$
=$\frac{{{{sin}^2}θ+sinθcosθ}}{{{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}$=$\frac{{{{tan}^2}θ+tanθ}}{{1+{{tan}^2}θ}}$=$-\frac{3}{25}$；
（2）$\frac{{cos{{40}^0}+sin{{50}^0}（1+\sqrt{3}tan{{10}^0}）}}{{sin{{70}^0}\sqrt{1+sin{{50}^0}}}}$
=$\frac{{cos{{40}^0}+sin{{50}°}（1+\frac{{\sqrt{3}sin{{10}^0}}}{{cos{{10}°}}}）}}{{cos{{20}°}\sqrt{1+cos{{40}°}}}}$
=$\frac{{cos{{40}^0}+cos{{40}°}\frac{{2sin（{{10}^0}+{{30}^0}）}}{{cos{{10}°}}}}}{{\sqrt{2}{{cos}^2}{{20}°}}}$
=$\frac{{cos{{40}^0}+\frac{{sin{{80}^0}}}{{cos{{10}^0}}}}}{{\sqrt{2}{{cos}^2}{{20}°}}}$=$\frac{{cos{{40}°}+1}}{{\sqrt{2}{{cos}^2}{{20}°}}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、同角三角函数基本关系式及两角和与差的正弦及余弦的应用，是中档题．