Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=

1

2

AA1=a，∠BAC=90°，D为棱d=

3 5

10

的中点．
（I）证明：A₁D⊥平面ADC；
（II）求异面直线A₁C与C₁D所成角的大小；
（III）求平面A₁CD与平面ABC所成二面角的大小（仅考虑锐角情况）．

Answer 1

分析：（I）为了证明A₁D⊥平面ADC，只需证明A₁D垂直平面ADC内的两条相交直线AD和CA，即可．
（II）连AC₁交A₁C于E点，取AD中点F，连EF、CF，则EF∥C₁D，∠CEF是异面直线A₁C与C₁D所成的角，求解即可；
（III）延长A₁D与AB延长线交于G点，连接CG，过A作AH⊥CG于H点，连A₁H，则∠A₁HA是二面角A₁-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角，求解即可．

解答：解：（I）证：∵△A₁B₁D和△ABD都为等腰直角三角形
∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°∴∠A₁DA=90°，即A₁D⊥AD（2分）
又∵

CA⊥AB CA⊥A1A

?

CA⊥平面A1ABB1 A1D?平面A1ABB1

?CA⊥A1D
∴A₁D⊥平面ADC（4分）

（II）解：连AC₁交A₁C于E点，取AD中点F，连EF、CF，则EF∥C₁D
∴∠CEF是异面直线A₁C与C₁D所成的角（或补角）（5分）
EF=

1

2

C1D=

3

2

a，CE=

1

2

A1C=

5

2

a，CF=

CA2+AF2

=

6

2

a
在△CEF中，cos∠CEF=

CE2+EF2-CF2

2CE•EF

=

15

15

（8分）
∴∠CEF=arccos

15

15

则异面直线A₁C与C₁D所成角的大小为arccos

15

15

（9分）

（III）解：延长A₁D与AB延长线交于G点，连接CG
过A作AH⊥CG于H点，连A₁H，∵A₁A⊥平面ABC，∴A₁H⊥CG（三垂线定理）
则∠A₁HA是二面角A₁-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角（10分）
在直角三角形ACG中，∵AC=a，AG=2a∴CG=

5

a，∴AH=

AC•AG

CG

=

2 5

5

a（11分）
在直角三角形A₁AH中，tan∠A1HA=

A1A

AH

=

5

（13分）
∴∠A1HA=arctan

5

，
即所求的二面角的大小为arctan

5

（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，异面直线所成的角、二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．