如图,为圆的直径,为圆周上异于、的一点,垂直于圆所在的平面,于
点,于点.
(1)求证:平面;
(2)若,,求四面体的体积.
(1)证明见解析;(2).
解析试题分析:(1)利用线面垂直的判断定理证明线面垂直,条件齐全,证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高,中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等;(2)利用棱锥的体积公式求体积.(3)证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化.(4)在求三棱柱体积时,选择适当的底作为底面,这样体积容易计算.
试题解析:(1)证明:∵BC为圆O的直径 ∴CD⊥BD
∵AB⊥圆O所在的平面 ∴AB⊥CD 且ABBD=B
∴CD⊥平面ABD
又∵BF平面ABD ∴CD⊥BF
又∵BF⊥AD 且ADCD="D"
∴BF⊥平面ACD 6分
(2)法一:∵AB=BC=,∠CBD="45°" ∴BD=CD=
∵BE⊥AC ∴E为AC中点
又∵CD⊥平面ABD
∴E到平面BDF的距离为
在Rt△ABD中,由于BF⊥AD 得
∴
∴ 13分
法二:∵AB=BC=,∠CBD="45°" ∴BD=CD=
∵BE⊥AC ∴E为AC中点 ∴E到边AD的距离为
在Rt△ABD中,由于BF⊥AD,得
,由(1)知BF⊥平面DEF
∴ 13分
考点:(1)直线与平面垂直的判定;(2)求四面体的体积.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图示,在四棱锥A-BHCD中,AH⊥面BHCD,此棱锥的三视图如下:
(1)求二面角B-AC-D的余弦弦值;
(2)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成45°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB//CD,AB=AD=,点M在线段EC上且不与E、C垂合.
(1)当点M是EC中点时,求证:BM//平面ADEF;
(2)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥M—BDE的体积
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