Question

（理）已知等差数列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，数列的前n项和为T_n．n∈N*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：；
（3）通过对数列{T_n}的探究，写出“T₁，T_m，T_n成等比数列”的一个真命题并说明理由（1＜m＜n，m，n∈N*）．
说明：对于第（3）题，将根据对问题探究的完整性，给予不同的评分．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d，由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．解得a₁=1，d=3∴a_n=3n-2．n∈N*…（4分）
（2）b_n=a_na_n+1=（3n-2）（3n+1）
∴∴；（8分）
（3）由（2）知，∴，
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则即．…（10分）
以下（6分）按3个层次评分
第一层次满分（3分）：
例如：因为，所以只有满足的大于1的正整数m，才有可能使得成立 …（13分）
或者取具体数值探究如：
当m=2时，=，n=16，符合题意；
当m=3时，=，n无正整数解；
当m=4时，=，n无正整数解；
当m=5时，=，n无正整数解；
当m=6时，=，n无正整数解； …（13分）
或者描述性说明，如：
因为，，所以只有当m取值较小时，才有可能使得成立 …（13分）
第二层次3+（2分）：
在第一层次的基础上继续探究，并明确指出：当正整数m=2，n=16时，T₁，T_m，T_n成等比数列．如：
不等式即3m²-6m-1＜0，解得，所以m=1（舍去），m=2．当m=2时，=，n=16，符合题意；所以当正整数m=2，n=16时，T₁，T_m，T_n成等比数列．…（15分）
（注：）
或者如：当m≥7时，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．所以当正整数m=2，n=16时，T₁，T_m，T_n成等比数列．…（15分）
第三层次5+（1分）：
在前面探索的基础上，写出“T₁，T_m，T_n成等比数列”的真命题：当且仅当正整数m=2，n=16时，T₁，T_m，T_n成等比数列．…（16分）
（说明：对问题探究的完整性体现在过程中即可）
分析：（1）由已知，利用通项公式，列出关于a₁，d的关系式，并解即可．
（2）在（1）的基础上能得出，裂项后求和．
（3）根据等比数列的定义，应有即．通过此二元方程解的情况去解决．
点评：本题考查等差数列定义、通项公式、裂项法求和．不定方程解的判断．考查分析解决问题、计算能力．